Die Regeln der Potenzrechnung vereinfachen den Umgang mit Exponentialausdrücken erheblich und ermöglichen eine rasche Berechnung. Sie finden in vielen mathematischen Anwendungen Verwendung und unterstützen das Umformen von Termen effizient.
Im Folgenden wird eine Übersicht der zentralen Potenzgesetze präsentiert, die als praktischer Leitfaden dienen. Diese Darstellung fördert das Verständnis und vereinfacht viele Rechenprozesse.
Multiplikation von Potenzen → Addition der Exponenten:
Wenn zwei Potenzen mit derselben Basis multipliziert werden, addiert man die Exponenten. Dadurch lässt sich der Ausdruck deutlich vereinfachen.
\(x^a \cdot x^b = x^{a+b}\)Beispiel:
\(3^2 \cdot 3^3 = 3^{2+3} = 3^5 = 243\)Division von Potenzen → Subtraktion der Exponenten:
Bei der Division von Potenzen gleicher Basis zieht man den Exponenten des Divisors vom Exponenten des Zählers ab. Dies führt zu einer schnellen und unkomplizierten Vereinfachung.
\(x^a : x^b = x^{a-b}\)Beispiel:
\(7^5 : 7^2 = 7^{5-2} = 7^3 = 343\)Potenzen potenzieren → Multiplikation der Exponenten:
Wird eine Potenz erneut potenziert, multipliziert man die Exponenten miteinander. Diese Regel ermöglicht eine direkte Berechnung des Endwerts.
\((x^a)^b = x^{a \cdot b}\)Beispiel:
\((4^3)^2 = 4^{3 \cdot 2} = 4^6 = 4096\)Multiplikation von Potenzen mit unterschiedlichen Basen und gleichem Exponenten:
Bei der Multiplikation von Potenzen, die verschiedene Basen, jedoch den gleichen Exponenten besitzen, werden die Basen miteinander multipliziert und der Exponent bleibt unverändert. Dies führt zu einer kompakten Schreibweise.
\(x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n\)Beispiel:
\(5^2 \cdot 7^2 = (5 \cdot 7)^2 = 35^2 = 1225\)Division von Potenzen mit unterschiedlichen Basen und gleichem Exponenten:
Bei der Division von Potenzen mit unterschiedlichen Basen, die jedoch den gleichen Exponenten tragen, teilt man die Basen und behält den Exponenten bei. Dies vereinfacht die Umformung des Ausdrucks erheblich.
\(\frac{x^n}{y^n} = \left(\frac{x}{y}\right)^n\)Beispiel:
\(\frac{10^3}{5^3} = \left(\frac{10}{5}\right)^3 = 2^3 = 8\)Potenzen mit dem Exponenten Null ergeben stets Eins (Sonderfall \(0^0\)):
Eine Zahl mit dem Exponenten Null ergibt immer Eins, wobei der Fall \(0^0\) als Ausnahme gilt. Diese Eigenschaft ist in vielen mathematischen Umformungen von zentraler Bedeutung.
\(x^0 = 1\)Beispiel:
\(8^0 = 1\)Potenzen mit dem Exponenten Eins entsprechen der Basis:
Wird eine Potenz mit dem Exponenten Eins dargestellt, bleibt der ursprüngliche Wert erhalten. Somit entspricht das Ergebnis direkt der Basis.
\(x^1 = x\)Beispiel:
\(11^1 = 11\)Potenzen mit negativem Exponenten:
Ein negativer Exponent bewirkt die Bildung des Kehrwerts der Basis, wobei der Exponent positiv wird. Dies stellt eine nützliche Umformungsregel dar, um Brüche zu erhalten.
\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)Beispiel:
\(6^{-2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}\)