Unser Kreuzprodukt-Rechner erlaubt dir, das Kreuzprodukt zweier dreidimensionaler Vektoren schnell und unkompliziert zu ermitteln.

Trage einfach die Komponenten deiner Vektoren ein, und der Rechner zeigt dir das Ergebnis inklusive einer detaillierten Schritt-für-Schritt-Berechnung. Dieses Tool ist besonders praktisch für Studierende, Ingenieure und alle, die sich mit Vektorrechnungen beschäftigen – teste es jetzt!

Kreuzprodukt Rechner

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So verwendest du den Kreuzprodukt-Rechner

  1. Fülle die drei Felder auf der linken Seite mit den Komponenten des ersten Vektors (u) aus.
  2. Trage die Komponenten des zweiten Vektors (v) in die drei Felder auf der rechten Seite ein.
  3. Drücke auf den Button „Berechnen“.
  4. Das Ergebnis erscheint darunter, zusammen mit den einzelnen Rechenschritten.

Tipp: Das Kreuzprodukt ist ausschließlich für dreidimensionale Vektoren definiert. Achte darauf, dass du für jeden Vektor alle drei Komponenten angibst.

Wie wird das Kreuzprodukt berechnet: Formel und Erklärung

Das Kreuzprodukt der Vektoren u und v im dreidimensionalen Raum wird mit der folgenden Formel bestimmt:

\(\mathbf{w} = \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = (u_2 v_3 – u_3 v_2)\mathbf{i} + (u_3 v_1 – u_1 v_3)\mathbf{j} + (u_1 v_2 – u_2 v_1)\mathbf{k}\)

Dabei steht:

  • \(u_1, u_2, u_3\) für die Komponenten des Vektors \(\mathbf{u}\)
  • \(v_1, v_2, v_3\) für die Komponenten des Vektors \(\mathbf{v}\)
  • \(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) für die Einheitsvektoren in Richtung der x-, y- und z-Achse

Das Ergebnis des Kreuzprodukts ist ein Vektor \(\mathbf{w}\), der senkrecht auf sowohl \(\mathbf{u}\) als auch \(\mathbf{v}\) steht. Diese Operation wird oft genutzt, um den Normalenvektor einer Ebene zu finden oder die Fläche eines Parallelogramms zu berechnen, das durch zwei Vektoren definiert wird.

Einsatzmöglichkeiten und Anwendungsbereiche

Das Kreuzprodukt hat in zahlreichen wissenschaftlichen und technischen Bereichen Relevanz. In der Physik wird es eingesetzt, um das Drehmoment einer Kraft oder den Magnetfluss zu berechnen. Im Ingenieurwesen unterstützt es bei der Analyse von Kräften und Momenten in Konstruktionen, während es in der Computergrafik bei der Bestimmung der Ausrichtung von Objekten oder der Berechnung von Lichtreflexionen verwendet wird.

Ein weiteres nützliches Anwendungsfeld ist die Berechnung der Fläche eines Parallelogramms, das von zwei Vektoren aufgespannt wird. Die Länge des resultierenden Vektors entspricht genau dieser Fläche, was in der Geometrie und Vektorrechnung von großem Nutzen ist.

Praktisches Beispiel zur Kreuzprodukt-Berechnung

Angenommen, du hast die Vektoren \(\mathbf{u} = (2, 3, 4)\) und \(\mathbf{v} = (5, 6, 7)\). Das Kreuzprodukt dieser Vektoren wird wie folgt ermittelt:

  • Erste Komponente: \(u_2 \times v_3 – u_3 \times v_2 = 3 \times 7 – 4 \times 6 = 21 – 24 = -3\)
  • Zweite Komponente: \(u_3 \times v_1 – u_1 \times v_3 = 4 \times 5 – 2 \times 7 = 20 – 14 = 6\)
  • Dritte Komponente: \(u_1 \times v_2 – u_2 \times v_1 = 2 \times 6 – 3 \times 5 = 12 – 15 = -3\)

Der resultierende Vektor \(\mathbf{w}\) lautet somit \(\mathbf{w} = (-3, 6, -3)\). Dies zeigt, dass der erhaltene Vektor senkrecht auf \(\mathbf{u}\) und \(\mathbf{v}\) steht.

Mathematische Grundlagen des Kreuzprodukts

Das Kreuzprodukt ist eine besondere Vektoroperation, die ausschließlich im dreidimensionalen Raum definiert ist. Es hat seinen Ursprung in der Linearen Algebra und dient dazu, einen Vektor zu bestimmen, der senkrecht auf zwei gegebene Vektoren steht. Die Operation ist antisymmetrisch, das heißt, \(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\) ergibt das Negative von \(\mathbf{v} \times \mathbf{u}\).

Ein zentraler Aspekt des Kreuzproduk

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